Modos propios

La coloración hace referencia a los cambios de “ecualización” en las fuentes sonoras en una sala debido a las características acústicas de la misma. Por tanto, la coloración introduce un grado de alteración en el sonido natural de los instrumentos musicales en un estudio de grabación.

La coloración se debe a las resonancias de la sala, por medio de la actuación de las ondas estacionarias. Estas ondas estacionarias hacen que a unas determinadas frecuencias el nivel de presión sonora sea amplificado. En una sala de grabación los problemas de coloración deben ser eliminados.

En este artículo:

La formación de ondas estacionarias

Las ondas estacionarias pueden formarse de diversas maneras. El caso más simple es en el que una onda sonora de baja frecuencia entra en resonancia entre dos superficies enfrentadas de una sala, lo que produce que se produzca un refuerzo de amplitud constante a esa frecuencia debido a interferencias constructivas. Este tipo de formación de ondas estacionarias se debe a los modos propios axiales de la sala, los cuales se dan para las frecuencias en las que las longitudes de onda son dos veces la longitud que existe entre las dos superficies reflectantes enfrentadas. Por tanto, la frecuencia de resonancia más baja que existe en la sala es la frecuencia en la que la longitud de onda es dos veces la dimensión más grande de la sala. Esto se debe a que la onda desde que es reflejada por una superficie hasta que vuelve a ella producto del reflejo que produce la superficie enfrentada tiene que viajar dos veces la distancia que separa dichas superficies, una vez de ida y otra de vuelta. Cuando la onda tiene una longitud de onda igual a dicha distancia se genera una onda estacionaria, la cual no depende de la variable temporal, solo de la variable espacial. Esto último quiere decir que una onda estacionaria tendrá siempre la misma amplitud en un punto del espacio determinado sin importar en que instante de tiempo evaluemos dicha amplitud.

Por ejemplo, si tenemos una sala de 7 x 4 x 3 m, la frecuencia de resonancia más baja es la que tiene una longitud de onda de 14 m, es decir, si suponemos que la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s:

f_{0}=\dfrac{V}{14}=\dfrac{340}{14}=24,28 Hz

Los modos axiales por tanto ocurren debido a la actuación de tan solo dos superficies paralelas, por lo que una sala rectangular va a tener tres modos axiales, uno debido al largo, otro debido al ancho y otro debido a la altura de la sala.

En el caso de la sala del ejemplo anterior, los tres modos axiales más bajos serán:

En la figura 1 vemos gráficamente el modo axial más bajo del eje x del ejemplo anterior.

Además de esta frecuencia de resonancia vamos a tener otras frecuencias de resonancia axiales para el eje x. Estas frecuencias corresponden con las que tienen una longitud de onda que es múltiplo entero del doble de la distancia entre las superficies enfrentadas, es decir, en las que la longitud de onda cumple que:

\boxed{\lambda _{nx}=\dfrac{2\cdot L_{x}}{n} \Rightarrow n=1, 2, 3, ....}

Por tanto vemos que considerando tan solo las modos axuales de uno de los ejes de la sala vamos a tener un alto número de frecuencias de resonancia.

Si volvemos al ejemplo anterior tenemos que las cinco primeras frecuencias de resonancia axiales para el eje x serán:

En la figura 2 podemos ver la representación gráfica de las ondas estacionarias de los dos primeros modos axiales del eje x del ejemplo que estamos considerando.

*Figura 2:* Dos primeras estacionarias de un modo axial

Como ya hemos dicho, una onda estacionaría solo depende de la variable espacial y no de la temporal. Esto lo que va a provocar en un estudio de grabación es una mala distribución espacial de los efectos de las ondas estacionarias. Para entender esto bien consideremos tan solo el primer modo axial de x del ejemplo. La figura 3 muestra la distribución espacial de este modo axial en un diagrama de planta. Vemos que nos vamos a encontrar con dos antinodosen el perímetro de cada pared y un nodo en el centro de la sala.

Antinodo: Puntos de máxima amplitud de una onda estacionaria.

Nodo: Puntos de mínima amplitud de una onda estacionaria.

*Figura 3:* Distribución en planta del modo (1,0,0)

Supongamos que el modo axial más bajo en vez de en 24,28 Hz lo tenemos en 80 Hz. Si en esa sala de grabación realizásemos la toma microfónica de un bajo eléctrico y nos moviéramos por la misma, podríamos percibir de forma clara los efecto de ese modo axial. En el centro de la sala el sonido generado por el amplificador tendría unos graves relativamente bajos, y a medida que nos acercásemos a una de las pareces siguiendo el eje x de la sala iríamos viendo como esos graves irían aumentando progresivamente, pudiendo ver como desde el extremo de la sala el sonido del bajo eléctrico varía mucho respecto a lo que había en el centro.

*Figura 4:* Distribución en planta del modo (2,0,0)

Hasta ahora solo hemos hecho referencia a una dimensión de la sala y tan solo a las ondas estacionarias producidas por dos superficies. Sin embargo hay que tener en cuenta que una sala supone un sistema resonante en tres dimensiones (x,y,z), ya que un cierto volumen se encuentra encerrado. En realidad hasta ahora tan solo hemos tenido en cuenta la dimensión más larga de la sala.

Para el cálculo de todas las frecuencias propias de una sala rectangular usamos la siguiente ecuación:

$$
f_{x,y,z} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{x}{l_x}\right)^2 + \left(\frac{y}{l_y}\right)^2 + \left(\frac{z}{l_z}\right)^2}
$$

donde:

$c$ es la velocidad del sonido en el aire (m/s),

x, y , z son números enteros,

$l_{x}$ , $l_{y}$ y $l_{z}$ son las dimensiones de la sala (m).

Si consideramos todas las dimensiones de la sala podemos ver que existen distintos tipos de ondas estacionarias:

Axiales – La onda estacionaria que hemos estudiado anteriormente era de tipo axial. Estas estacionarias se forman por la acción de dos superficies enfrentadas, como por ejemplo el suelo y el techo. Vamos a tener ondas estacionarias axiales por cada uno del conjunto de superficies enfrentadas.
Tangenciales – Se forman por la acción de cuatro superficies de la sala (cuales quieran que sean).Cuando la distancia de separación de trazado formada por las cuatro superficies coincide con la longitud de onda de la frecuencia, se excita una onda estacionaria tangencial. Los modos tangenciales requieren dos veces la potencia de un modo axial para producir el mismo cambio de amplitud que dicho modo axial. Por tanto la variación de nivel de presión sonora es 3dB más baja que la de un modo axial.
Oblicuos – Los modos oblicuos se forman por la relación de seis o más superficies de la sala. Cuando la distancia de separación de trazado formada por seis o más superficies de la sala coincide con la longitud de onda de una frecuencia, se forma una onda estacionaria oblicua. Las onda oblicuas necesitan cuatro veces la potencia de una onda axial para provocar el mismo cambio de amplitud que chico modo axial. Por tanto la variación de nivel de presión sonora es 6dB más baja que la de un modo axial.

Normalmente se suelen representar los modos propios en escala logarítmica para la frecuencia, ya que nos da una visualización más fiel de como se comporta el oído humano.

En la figura 6 vemos la representación de los mil primeros modos propios en la sala de 7x4x3m, donde vemos que a medida que aumentamos la frecuencia tenemos más densidad de modos propios, por lo que la separación entre ellos será menos a medida que subimos de frecuencia. Al estar más juntos los modos propios lo que sucede es que la percepción de la respuesta en frecuencia de la sala se haga más uniforme.

*Figura 6:* Representación de los 1.000 primeros modos propios de una sala de 7x4x3 metros

Debidos a los modos propios vamos a percibir coloración. Esto se debe a que en las frecuencias de resonancia, y en las frecuencias próximas, se va a producir un refuerzo de la presión sonora. En las frecuencias que se encuentran entre dos modos propios no se va a percibir este aumento, por lo que se percibirá una atenuación relativa.

En la figura figura 7 podemos observar la distribución de los mil primeros modos en una sala el doble de la estudiada antes. Si comparamos esta gráfica con la figura 6 podemos observar dos cuestiones muy importantes en lo que se refiere a los modos propios.

El patrón modas es exactamente el mismo en las dos salas. Esto se debe a que el patrón modal de una sala depende de la forma de la sala, y por tanto se referencia las medidas relativas y no a las medidas absolutas. Por eso, como veremos más adelante, en el comportamiento modal de una sala es tan importante el ratio entre las dimensiones.
En la sala grande, la zona donde existe una buena distribución de los modos propios se alcanza a una frecuencia más baja.

Los problemas con los modos propios van a venir siempre a frecuencias bajas, que es donde las frecuencias resonantes se encuentran más distantes. Además, hay que tener en cuenta que la percepción de la sonoridad a bajas frecuencias va a ser muy dependiente del lugar de la sala donde coloquemos al oyente o al micrófono, tal y como vinos en las figuras 3 y 4.

La coloración en salas y controles de grabación

En las salas de grabación, la coloración provocada por los modos propios van a suponer dos problemas importantes.

1 – El sonido del instrumento musical va a ser grabado de forma alterada, ya que habrá frecuencias en la grabación donde el sonido del instrumento grabado va a tener más presencia de lo que en realidad tienen.

2 – La reverberación a bajas frecuencias va a ser aumentada, lo que va a provocar que sonidos de unos elementos se nos cuelen con más nivel en los micrófonos de los demás elementos, como por ejemplo al realizar la tomo microfónica de una batería o al tomar una banda entera en directo.

En los controles de grabación, la coloración va a suponer tres problemas fundamentales.

1 – El balance frecuencial de lo grabado va a ser alterado, de tal forma que no podamos evaluar de forma exacta lo que en realidad tenemos. Esto hace que las decisiones del ingeniero de sonido estén influenciadas por la respuesta de la sala, haciendo que cualquier modificación de ecualización pueda tener resultado indeseados. Por ejemplo, si mezclamos un tema musical en una sala con fuertes resonancias a bajas frecuencias, estaremos escuchando unos graves que en realidad no tiene lo que reproducen los monitores, por lo que siempre nos quedaremos cortos en el refuerzo de graves. Si escucháramos esa misma grabación en una sala sin problemas a bajas frecuencias observaríamos que la mezcla carece de graves.

2 – Las mezclas hechas en una determinada sala puede hacer que suene totalmente distinta en otra sala, aun cuando las dos cuenten con el mismo sistema de monitoraje.

3 – Al producirse una exageración en la reverberación a bajas frecuencias se produce una pérdida de claridad a esas frecuencias, provocándose la famosa pelota de graves.

Densidad de modos propios en una sala rectangular

Podemos calcular el números de modos propios que existe por debajo de una determinada frecuencia mediante la siguiente ecuación:

$$
N = \frac{4 \pi V}{3 c_0^3} f^3 + \frac{4 S}{4 c_0^2} f^2 + \frac{L}{8 c_0} f
$$

donde:

$f$ es la frecuencia (Hz),

$c_{o}$ es la velocidad del sonido en el aire (m/s),

$V$ es el volumen de la sala ( $m^{3}$ ),

$S$ es la superficie total de la sala ( $m^{2}$ ),

$L$ es la suma de las longitudes de la sala (m),

y teniendo en cuenta que:

$$
V=l_x l_y l_z
$$

$$
S=2(l_x l_y + l_x l_z + l_y l_z)
$$

$$
L=4(l_x + l_y + l_z)
$$

Podemos calcular aproximadamente la cantidad de modos que hay en una ancho de banda determinado con frecuencia central $f$ podemos usar la siguiente expresión:

$$
\Delta N=\left(\frac{4\pi V}{c_{0}^{3}}f^{2}+\frac{\pi S}{2c_{0}^{2}}f+\frac{L}{8c_{0}}\right)\Delta f
$$

A cierta frecuencia, la densidad modal es lo suficientemente alta como para que los modos propios no supongan una variación de la respuesta frecuencial de la sala. Esa frecuencia marcará el límite superior de la zona de bajas frecuencias de la sala. A esta frecuencia se le denomina frecuencia crítica ( $f_{c}$ ).

*Figura 8:* Representación gráfica de la frecuencia crítica por Bolt, Beranek y Newman.

R. Walker propone la siguiente ecuación para determinar la frecuencia crítica:

$$
f_{c}=\sqrt{\left(\frac{S c_{0}}{16 V}\right)^{2}-\left(\frac{L}{8 c_{0}}-2 T_{60}\right)\frac{c_{0}^{3}}{4 \pi V}}-\frac{S c_{0}}{16 V}
$$

Esta ecuación de Walker puede aproximarse a:

$$
f_{c}=\sqrt{\frac{T_{60} c_{0}^{3}}{2 \pi V}}-\frac{S c_{0}}{16 V}
$$

Este criterio de Walker se basa en la primera frecuencia donde existen cinco modos propios en un tercio de octava.

En 1954, Schroeder determinó la frecuencia crítica basándose en diez modos por tercio de octava. Esta frecuencia (también llamada frecuencia de Schroeder) se puede calcular con la siguiente ecuación:

$$
f_{0}=2000\sqrt{\frac{T_{60}}{V}}
$$

En la figura 9 podemos ver la comparativa entre los distintos métodos de obtener la frecuencia crítica.

*Figura 9:* Comparativa de los diferentes métodos de obtención de la frecuencia crítica

Formas de minimizar la coloración

INCREMENTAR EL FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO MODAL

Un método con el que contamos para reducir los efectos de los modos propios de una sala es el de aumentar el factor de amortiguamiento de todos los modos por medio de absorbentes que sean efectivos a bajas frecuencias.

Esto se suele hacer como parte del diseño general para reducir la reverberación a bajas frecuencias y evitar la pelota de graves.

Una mejor forma de controlar los problemas a bajas frecuencias es la de tratar cada frecuencia propia conflictiva de forma individual y colocar diferentes materiales absorbentes que sean efectivo en cada una de esas frecuencias.

Aumentando el factor de amortiguamiento hacemos que la amplitud máxima de la resonancia se reduzca, y que el rango de frecuencias sobre la que afecta ese modo propio se estreche.

La frecuencia que marca la frecuencia límite superior de las frecuencias a tratar viene dada por la frecuencia crítica.

ELEGIR BIEN EL RATIO DE LA SALA

Como veremos más adelante, existen unos ratios entre las medidas de la sala que hace que la distribución modal hace que se obtengan buenos resultados en cuanto a la coloración de la sala.

NO HACER SALAS RECTANGULARES

También podemos corregir el problema de las frecuencias bajas producidas por los modos propios, en gran medida, haciendo que la sala no sea rectangular, ya que los modos propios se formar al existir reflexiones especulares a bajas frecuencias cuando la longitud de onda es comparable a la longitud de alguna superficie.

Si consideramos que las reflexiones son especulares, y tomamos una superficie límite de una sala rectangular, las fuentes imagen de esa superficie formadas por las superficies adyacentes extiende dicha superficie al infinito.

Esto hace que podamos considerar una sala rectangular como tres grupos de superficies enlazadas paralelas infinitas.

Si desviamos una de las dos superficies de uno de los tres conjuntos, haciendo así que ya no sean paralelas, por ejemplo el frontal de la sala respecto a la superficie del fondo, las fuentes imágenes propias de la superficie frontal van a variar en el ángulo, produciendo superficies imaginarias efectivas que describen una patrón en zig-zag, lo cual entorpece la formación de ondas estacionarias.

Cuando tenemos una sala no rectangular, el comportamiento modal de la sala ya no puede simplificarse a una solo ecuación o gráfica, siendo dicho análisis mucho más complicado.

RECOLOCACIÓN DE LAS FUENTES DE SONIDO

Normalmente en los controles de grabación, los monitores de campo lejano se encuentran empotrados en la pared frontal. Teóricamente, todos los puntos pertenecientes a cualquiera de las paredes de la sala corresponde con antinodos en ondas estacionarias. El hecho de situar los monitores en esos puntos hace que se minimicen las irregularidades en la respuesta en frecuencia.

Optimización de la distribución de modos

Como hemos visto, es muy importante un buen planteamiento de las dimensiones de una sala para que no haya coloraciones importantes debido a los modos propios. Por tanto es importante que la forma de la sala haga que la distribución de los modos propios tenga unas determinadas características que haga más lineal la respuesta en frecuencia de la sala. La forma determinar la forma de la sala lo veremos en los apartados siguientes.

WALKER – RECOMENDACIONES EBU E ITU

El problema con los modos propios a bajas frecuencias se conoce desde hace mucho tiempo. A lo largo de la historia se han investigado la forma que tendría que tener una sala para minimizar los efectos de los modos propios.

En la actualidad, la mayoría de los diseñadores siguen las recomendaciones establecidas por la EBU (European Broadcasting Union – Tech 3276-1999) y la ITU (nternational Telecommunication Union – ITU-R BS.1116-1 e ITU-R BS.775-1) sobre salas de escucha.

Estas recomendaciones están basadas en un estudio desarrollado por R. Walker, en el que establecía un rango de ratios óptimos en vez de unos pocos ratios determinados hasta ese momento.

Walker definió un índice de calidad ( $Q_{i}$ ). Como punto de partida para para determinar este índice de calidad hay que tener en cuenta que una sala rectangular cuenta con cuatro variable con las que podemos jugar (altura, largo, ancho y volumen), y que son las que influyen en la distribución de los modos propios. Por tanto, para hacer una representación gráfica de ese factor de calidad deberíamos usar una representación de más de dos dimensiones. Sin embargo, dejando fijas algunas de estas variables, las variables a representar se reducen. Si fijamos el valor del volumen podemos representar el índice de calidad con tan solo dos variables (ratios largo/alto y ancho/alto). De esta forma podemos hacer una representación gráfica de $Q_{i}$ en dos dimensiones, tal y como muestra la figura 10.

Para calcular el índice de calidad debemos calcular el cuadrado la distancia en frecuencia entre todos los modos propios adyacentes, luego sumar todas esas distancias y dividir todo entre el número de modos propios tomados.

$$
Q_i=\frac{\sum(\Delta f_{nms})^{2}}{NOM}
$$

donde:

$Q_{i}$ es el índice de calidad ( $Hz^{2}$ )

$\Delta f_{nms}$ es la separación frecuencial entre dos modos propios adyacentes ( $Hz$ )

$NOM$ es el numero de modos propios tomados.

*Figura 10:* Representación gráfica del índice de calidad de Walker para un volumen fijado de 200 metros cuadrados

La representación del índice de calidad puede hacerse también fijando la altura y usando el volumen como variable. En la figura 9 podemos ver el índice de calidad para salas de altura de 3’5 metros.

*Figura 11:* Representación gráfica del índice de calidad de Walker para una altura fijada en 3,5 metros

Esa gráfica del índice de calidad para una altura de 3,5 metros fue tomada como referencia para estipular un nuevo criterio. Como vemos en la figura 9, existe un gran área donde se considera que la distribución de los modos propios es correcta. Este área está marcada por las rectas a-a y b-b.

El límite inferior para la relación largo ancho es el valor 1,1, que es la línea a-a de la figura:

$$
\frac{l}{w} \leq 1.1
$$

donde:

$l$ es el largo ( $m$ ),

$w$ es el ancho ( $m$ ) y

$h$ es la altura ( $m$ ).

O lo que es lo mismo a:

$$
\frac{l}{h} \leq \frac{w}{h} \cdot 1.1
$$

El límite superior para la relación largo/alto, es decir, la línea b-b, queda definida por:

$$
\frac{l}{h} \leq 4.5\,\frac{w}{h} – 4
$$

Por tanto, el criterio para salas basado en el índice de calidad de Walker puede definirse como:

$$
1.1\,\frac{w}{h} \leq \frac{l}{h} \leq 4.5\,\frac{w}{h} – 4
$$

con $l<3h$ y $w<3h$ .

Este criterio es el que toma la EBU y la ITU en sus recomendaciones, con el añadido de que los valores enteros de los ratios de $l$ , $w$ y $h$ que coincidan en $\pm 5\%$ no pueden usarse.

EL CRITERIO DE BONELLO

A lo largo de la historia, muchos autores han sugerido muchos ratios recomendados para las diferentes dimensiones de una sala para que su respuesta en frecuencia sea correcta. Sin embargo, hasta que en 1981 Bonello publicó su artículo, nunca nadie había establecido un criterio de evaluación para la respuesta frecuencial de la sala.

Una de las ventajas del criterio propuesto por Bonello es que conlleva muy poco trabajo numérico, y con tan solo una calcula programable o un software de calculo sencillo podemos realizar todos los cálculos.

La idea de Bonello era la de crear una herramienta a los diseñadores acústicos que permitiera chequear si las dimensiones elegidas para las salas iba a tener una buena distribución modal correcta a bajas frecuencias, permitiendo modificar las dimensiones antes de comenzar la construcción. Antes de la publicación del artículo se construyeron unos 35 estudios de broadcast y de grabación durante unos 4 años siguiendo su criterio con buenos resultados.

El primer paso consiste en calcular los 48 primeros modos propios mediante la ecuación que ya vimos con anterioridad:

$$
f_{x,y,z} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{x}{l_x}\right)^2 + \left(\frac{y}{l_y}\right)^2 + \left(\frac{z}{l_z}\right)^2}
$$

donde:

$c$ es la velocidad del sonido en el aire (m/s),

x, y , z son números enteros,

$l_{x}$ , $l_{y}$ y $l_{z}$ son las dimensiones de la sala (m).

Un vez que conocemos los 48 primeros modos propios de la sala, hay que dividir el espectro de frecuencias en rangos determinados, para luego analizar cuantos nodos propios entran en cada uno de los intervalos. Para la división frecuencial, Bonello decidió usar divisiones de tercios de octava debido a cuestiones psicoacústicas. Una de las razones fue que los tercios de octava hace referencia a unos anchos de banda relativos y no anchos absolutos. Esto es indicado, ya que la forma en la que el oído humano percibe los intervalos musicales es de forma logarítmica.

De acuerdo con esto, representamos gráficamente la cantidad de modos propios que entra en cada tercio de octava desde 10 Hz hasta 200 Hz, a cuya curva representada Bonello llamó $D=F(f)$ . Esta representación debe tener el número de modos propios en el eje $y$ y la frecuencia en el eje x con escala logarítmica y con el centro de la frecuencia de cada banda situada en el valor de tercios de octava.

En la figura 12 vemos la representación de $D=F(f)$ para la sala de 7x4x3 metros, mientras que en la tabla siguiente vemos los datos de la cantidad de modos propios en tercios de octava.Puesto que hoy en día contamos con herramientas muy potentes de cálculo, en las cuales es totalmente trivial el calcular una serie de modos propios, hemos extendido el cálculo sin poner la limitación de 48 modos citada en el artículo de Bonello.

Tercio de Octava (Hz)	Número de modos
16	0
20	0
25	0
31,5	0
40	1
50	1
63	2
80	3
100	5
125	6
150	20
200	31
250	49

Calculos de numeros de modos propios por tercios de octava para una sala de 7x4x3 metros

*Figura 12:* Curva de Bonello para una sala de 7x4x3 metros

Bonello propone que con estos cálculos se deben cumplir dos condiciones:

La curva $D=F(f)$ debe incrementarse monotónicamente, es decir, cada tercio de octava debe tener más modos propios que la que le precede (o por lo menos un número igual si $D=1$ ).
No deben existir modos dobles, o por lo menos solo pueden existir modos dobles en un tercio de octava cuando $D\geq 5$ .

Posteriormente se demostró experimentalmente que dos tercios de banda sucesivos pueden tener el mismo número de modos propios aun cuando $D>1″ src=”http://s0.wp.com/latex.php?latex=D%3E1&bg=ffffff&fg=000&s=0″>, lo cual implica una reducción bastante notable de la complejidad de la exigencia, aunque Bonello indica que las mejores condiciones son las que marcan sus dos condiciones originales.</p> <p>El criterio de Bonello ha sido muy usado todos estos años en el diseño de muchos estudios y controles de grabación y algunos diseñadores indican que una sala puede considerarse buena aunque un tercio de octava tenga menos densidad de modos que la anterior, siempre y cuando ese tercio de octava cumpla que <img alt=$ .

Hay que tener en cuenta también que a medida que ha ido pasando el tiempo, muchos diseñadores realmente solo se fijan en la primera condición de Bonello, sin darle tanta importancia a la existencia de modos dobles en los tercios de octava de más baja frecuencia.

José A. Medina

Publicado originalmente en Hispasonic. Archivo técnico de José A. Medina.